3.1  최적화를 위한 설계방법의 검토                                 

일반적으로 우리들은 시뮬레이션 모델을 작성한 다음, 모델에 각종 조건을 부여함으로써 목적으로 하는 최적조건을 탐색하게 된다. 이같은 때 일반적으로 취해지는 방법은
       (1) 연구자의 판단으로 몇가지 사례를 계산하고 결과를 보아 최선으로 생각되는 방향으로 조건을         움직이며 해답을 발견한다 (trial and error).
       (2) 최적화의 수법을 적용하여 수학적으로 해답을 구한다.
       (3) 품질공학을 응용한 방법.
등일 것이다. (1)의 방법에서는 많은 계산이 필요할 뿐 아니라 참으로 최적해에 다다를 지 여부에 의문이 남는다. 한편 (2)의 방법에서는 최적해의 보증이 곤란하거나, 비선형이 강한 계통에서 막대한 시간이 걸리며, 전문적인 지식이 필요하므로 일반용으로는 힘들다는 점에 문제가 있다. 그런 점에서 여기서 서술하는 (3) 품질공학을 응용한 방법은 (1)의 방법에 가깝지만
       (a) 직교표를 활용함으로써 능률적으로 탐색할 수 있다.
       (b) 분산분석에 의해 효과 유무와 대소를 판정하고, 이에 따라 다음으로 나가야 할 방향을 결정하         기 때문에 객관성있는 올바른 최적해에 도달할 수 있다.
       (c) 비선형이 강한 계열이라도 시뮬레이션 모델을 그대로 이용할 수 있다.
       (d) 변수의 수에 제약을 받지 않는다.
       (e) 최적화 수법에 대해 특히 전문적인 지식이 필요치 않다.
는 등의 특징을 지니고 있다.

  3.2  분자량의 제어                                                  

다음에 최적조건(최적 조작변수=파라미터)의 결정에 대해 생각해 보자. 지금 어떤 분자량 (중합도)의 폴리머(polymer)를 얻으려고 하는 래디컬(radical)중합에서 어떤 순간에 생성되는 폴리머의 중합도 ( P_n )는 다음 식으로 표시된다.

             1 / P_n = ( 2 f k_d I )^1/2 / K M + C_m + C_s S / M + 기타의 이동연쇄항
여기서, K = k_p / ( 2 k_t )^1/2

그리고 '폴리머분자량 = 중합도 × 모노머(monomer)분자량' 이다. 목적의 분자량을 얻기 위한 모노머, 개시제 · 용제 등의 농도, 그리고 개시제 · 용제의 종류, 온도의 조합은 무한히 존재한다고 할 수 있다. 최종 생산물의 분자량에 대해서도 마찬가지이다. 그리고 실험의 중합조작에서는 이밖에도 배합 방법이나 시간, 온도의 변경방법 등 결정해야 할 파라미터의 수는 많이 존재하므로 목적으로 하는 분자량을 얻기 위한 조건의 조합은 무한히 존재하는 것으로 생각할 수 있다.

한편 무수히 존재하는 조합 가운데서 어떤 하나의 조합을 선정하여 실제로 제조하는 경우를 생각해 보자. 그들이 정해진 조건대로만 제조를 실시하기는 곤란하다. 중합온도가 몇도 낮거나, 계량오차 또는 배합시간에 산포가 있거나, 사용되는 원료의 순도나 활성이 그 때마다 다르거나, 반응에 유도기(誘導基)가 존재하고 제조할 때 마다 유도시간이 달라지는 등의 현상을 접할 것이다. 그 결과 얻어지는 제품의 분자량이 목표로부터 벗어 나고 때로는 규격을 벗어난 제품도 생산될 것이다.

그러므로 이 사례에서는 이런 산포의 존재를 인정한 다음에 무수히 존재하는 파라미터의 조합가운데서 산포에 강한 조건을 최적조건으로 찾아내는 것을 과제로 하여 검토한다.

  3.3  분자량 제어의 3단계 설계                                

목적으로 하는 분자량의 폴리머를 제조하려는 경우 제품의 분자량이 목표값으로부터 벗어나는 원인으로서 각종 잡음의 영향을 생각할 수 있다. 이들은
① 환경잡음 -- 온도, 습도, 먼지, 진동, 전원 전압의 변동 등
② 설비잡음 -- 기기와 계기를 구성하는 재료나 부품의 열화 등에 의한 변동
③ 물품간의 산포 -- 원료(모노머, 개시제, 용제)의 순도, 활성도, 불순물의 종류와 양의 산포
로 분류된다. 이들 3종의 잡음에 대해 그 영향을 억제하고 최대한 목표값에 가까운 분자량의 제품을 얻도록 대책을 강구하는 면에서 가장 중요한 일은 '설계에 의한 대책' 이며, 이는 다음 3단계로 성립한다.

(1) 시스템 설계(1차 설계)
어떤 폴리머를 제조하는데 어떤 공정이 좋은 지 결정한다. 예를들면
   ① 이온 중합인가, 래디컬 중합인가?
   ② 괴상(塊狀) 중합인가, 용액 중합인가, 현탁 중합인가, 슬러리 중합인가, 유화 중합인가?
   ③ batch중합인가, 연속 중합인가?
를 자사의 고유기술, 또는 기술의 동향 등을 참고로 하여 설정한다.
 

(2) 파라미터 설계(2차설계)

시스템 설계가 결정 된 다음에는 이들 시스템을 구성하는 시스템 요소의 각 파라미터에 대한 최적 조합을 결정한다.

폴리머를 제조하는 경우라면
   ① 중합 설비 -- 기기의 시방, 운전시의 설정값, 제어기기 등의 파라미터
   ② 중합 온도, 모노머의 순도, 개시제, 용제의 종류와 양, 모노머, 개시제, 용제의 혼합방법 등의 목표값(중심값)을 결정하게 된다.

중요한 것은 2차설계의 목적은 값싼 설비나 값싼 원료, 즉 고급 제어나 순도가 높은 원료를 사용하지 않고, 안정성과 신뢰성이 높은 물품을 제조하기 위한 조건을 발견하는데 있다.
 

(3) 허용차 설계(3차 설계)

2차 설계로 결정한 각 파라미터의 중심값에 대해 이들의 산포 범위와 제어폭 등을 결정하는 단계이며, 영향이 큰 오차인자에 대해서는 원가를 고려하여 좁은 허용차를 부여한다. 이 때문에 3차설계에서는 필연적으로 원가상승이 따르는데, 품질 향상에 의한 이익향상을 고려한다면 전체의 손실을 최소로 억제하게된다. 따라서 3차설계에서는 손실의 평가방식이 중요하다.

이 사례는 용액중합 의 경우로서 (2), (3)의 설계단계에 대해 설명한다.

  3.4  용액 중합에 있어서 인자와 그 내용                    

지금 어떤 기존 batch 중합설비를 사용하여 용액중합법으로 분자량(총괄 평균 중합도 P_w) 500 의 폴리머를 제조할 때 전술(前述)한 방법을 적용하기로 한다.

여기서 '폴리머 분자량 = 중합도 × 모노머 분자량' 이므로 단일 종류의 모노머를 고려하고 있는 이 사례에서는 중합도는 폴리머 분자량의 크기를 나타내는 척도이다. 그리고 분자량 제어와 중합도 제어는 같은 것이다.

한편 여기서는 기존 설비를 그대로 사용하기 때문에 설비에 관한 파라미터에 대해서는 언급하지 않기로 한다. 그리고 비교적 낡은 설비이기 때문에 온도 컨트롤이나 원료 배합속도의 컨트롤은 완전하지 않다. 그리고 사용하는 모노머는 순도가 높은 1급품과 연쇄이동 효과가 큰 불순물을 포함하는 회수품(저급)을 임의의 비율로 사용하기로 한다.

중합방법으로서는 <그림 3.1>과 같은 유형의 반연속 중합방법을 채용하기로 한다.

주 1) 중합온도는 중합 개시 온도로부터 12시간째의 80 ℃까지 일정속도로 상승 또는 하강하는 것으         로 했다. 그리고 후반의 L₉에서의 검토시에는 14시간째를 80 ℃로 했다.
    2) 연쇄이동제는 사용하지 않지만, 모노머 중의 불순물을 연쇄이동제로 취급하고 모노머 배합량에          비례하여 공급되는 것으로 한다.
     3) 열개시는 고려하지 않는다.
     4) 개시제의 목표 배합시간은 (모노머의 목표배합시간 + 2.5 hr)로 한다.

결정해야 할 파라미터(제어인자)로서는 다음의 인자를 고려한다.
A : 중합온도(중합 개시온도)
B : 개시제의 종류
C : 개시제의 양
D : 개시제의 배분(최초에 배합하는 것과 연속적으로 공급하는 것의 비율)
E : 용제의 종류
F : 모노머 의 연속 배합시간
G : 모노머의 배분(최초로 배합하는 것과 연속적으 로 공급하는 것의 비을)

그리고 반응에 산포를 주는 오차인자로서 다음의 요인을 생각한다.
A' : 중합온도의 산포(출발시)                                                      σ = 1.25 (℃)
B' : 개시제(순도 및 열화, 계량오차를 고려하여) 배합량의 산포     σ = 2.5 (%)
C' : 개시제의 배합시간 산포                                                       σ = 5.0 (%)
D' : 모노머의 배합시간 산포                                                       σ = 5.0 (%)
E' : 용제중의 불순물은 용제에 대한 연쇄이동 상수에 영향을 미치는 것으로 보고, 이동속도 상수의 빈도계수 산포가
           연쇄이동이 작은 용제에 대해                                           σ = 5.0 (%)
           연쇄이동이 중간정도인 용제에 대해                                 σ = 2.5 (%)
           연쇄이동이 큰 용제에 대해                                              σ = 1.25 (%)
F' : 모노머의 계량오차                                                               σ = 2.5 (%)
G' : 모노머 중의 불순물(회수 모노머의 사용비율에 따라)의 양      σ = 0.5 (%)
여기서 우단에 표시된 σ의 값은 실적 데이터의 산포에 대한 표준편차의 값이다.

  3.5  용액 중합 시스템의 모델                                   

목적에 맞는 분자량과 분자량 분포를 지닌 폴리머를 제조하기 위해 개시제, 모노머, 연쇄이동제, 용제 등을 고려하여 시뮬레이션 모델의 기초식을 설정한다.
 

(1) 중합 반응의 기초식

얻어진 폴리머 분자량, 분자량 분포를 계산하는 기초식을 다음과 같이 가정한다.
① 개시반응(개시제에 의함)                  속도식
           I →  2R^*                                      2 f k_d I
           R^* + M →  P_i
② 생장반응
           Pj-i + M →  Pj                              k_p M Q₀
③ 연쇄이동 반응
           P_j + M →  P_j + P_i                           k_{t r m} M Q₀
           P_j + T →  P_j + T^*                           k_{t r t} T Q₀
           P_j + S →  P_j + S^*                          k_{t r s} T Q₀
④ 재개시 반응
           T^* + M →  P_i + T                           k_{i t} M T
           S^* + M →  P_i + S                           k_{i s} M S
⑤ 정지(재결합)
           P_j-i + P_i →  P_j                               2 k_t Q₀²

여기서 반응속도 상수 k는
           k = A exp[ - ( E - R ) / u ]
로 표시되면
           A : 빈도계수
           E / R : 활성화 에너지
           u : 절대온도
이다.

그리고 Q₀는 全래디컬 농도로서
             Q₀ = Σ P_j = ( f k_d l / k_t )^1/2

구체적인 계산경로는 생략하고 결과만 다음에 제시했다.

⑥ 순간 평균 중합도
           p_n = 1 / ( 1 / v_{t r} + 1 / v₀ )
           P_w = ( 1 + v ) { ( 1 + 2 v ) / v_{t r} + ( 2 + 3 v ) / v₀ }
여기서
           1 / v = 1 / v_{t r} + 1 / v₀
           1 / v_{t r} = 1 / v_{t r m} + 1 / v_{t r s} + 1 / v_{t r t}
           v₀ = k_p M Q₀ / 2 f k_d I = k_p M Q₀ / 2 k_t Q₀²
           v_{t r m} = k_p M Q₀ / k_{t r m} M Q₀
           v_{t r s}  = k_p M Q₀ / k_{t r s} S Q₀
           v_{t r t}  = k_p M Q₀ / k_{t r t} T Q₀

⑦ 총괄 평균 중합도
           P_n = ( w / M_w ) V / ∫ {  ( - r_M V / P_n ) dθ }
           P_w = ( 1 / w V ) ∫ { P_w ( - r_M ) M_w V dθ }

(2) 반연속조작의 기초식
<그림 3.2> 와 같은 반연속조작에 대응하는 기초식을 다음에 제시한다.
           개시제               d ( I V ) = [ F_v I_f - ( - r_I ) V ]dθ
           모노머               d ( M V ) = [ F_v M_F ( - r_M ) V ]dθ
           용제                  d ( S V ) = F_v S_F dθ
           연쇄이동제        d ( T V ) = [ F_v T_f - (- r_T ) V ]dθ
           폴리머생성        d ( w V ) = ( - r_M ) M_w dθ
여기서
           - r_I = k_d I           - r_M = k_p M Q₀           - r_T = k_{t r t} T Q₀
주) 연쇄이동에 의한 소실속도는 작으므로 수지식(收支式)에서는 무시했다.

  3.6  분자량 제어의 파라미터 설계                           

 3.6.1  제어인자와 오차인자의 할당

(1) 제어인자의 할당

파라미터 설계를 효율적으로 하기 위해 선정한 제어인자의 수를 고려하여 할당에 사용하는 직교표를 선택한다. 일반적으로 3수준으로 비교하는 경우가 많으므로 3수준계의 L₉(3⁴)  L₁₈(2¹×3⁷)  L₂₇(3¹³)  L₃₆(2¹¹×3¹²) 등이 사용된다. 인자의 숫자가 많으면 많을수록 큰 직교표를 사용하게 된다.

여기서는 <표 3.1>과 같이 7개 인자를 다루었으므로 L₁₈을 채용하기로 한다. 제1열은 2개의 수준 밖에 없지만, 사용하는 개시제의 종류로서 2종류밖에 후보가 없는 경우에는 여기에 할당하면 된다.

각 인자는 예를들면
    A : 중합온도는 장치상의 제약으로 상한은 100 ℃ 하한은 제열(除熱)에 필요한 온도차의 관계에서 60         ℃ 이상 으로 한다.
   B : 개시제의 종류로서는 분해속도가 빠른 것, 느린 것, 중간 것 가운데 어떤 것이 좋은지 비교한다.
   C : 개시제의 양은 사용량이 많으면 코스트가 높아지고 반대로 적으면 반응이 정체되거나 중합속도가         느려져 반응시간이 길어지거나 미반응 모노머의 양이 많아지므로 5 ~ 0.5 %의 범위로 한다.       D : 개시제의 배분은 반응 도중에 개시제가 분해되어 재료가 떨어지는 것을 방지하기 위해 연속배합        을 적어도 40 % 이상으로 한다. (최초의 배합은 60 % 이하).

   E : 용제는 연쇄이동이 다른 3종으로 어느 쪽이 좋은지 비교한다.
   F : 모노머의 연속 배합시간은 최대한 짧게 하는 것이 좋지만, 제열상의 제약과 생산성의 면에서 3 ~10 시간으로 한다.
   G : 모노머의 배분은 제열이나 안전의 면에서 최초의 배분을 50 % 이하로 한다.
는 등 기술상의 제약을 고려한 다음에 연구자의 직감으로 중심값 (제2수준) 을 정하고 그 전후에 제1 및 제3수준을 설정한다.

<표 3.1> 에서 다룬 인자와 수준의 할당을 <표 3.2> 에 제시한다. 표 가운데의 데이터에 대해서는 뒤에 설명한다. 만약 직교표를 이용하지 않고 전체를 계산한다면 3⁷ = 2187 (회) 의 시행횟수가 필요하다. 그리고 가정한 반응 속도 상수의 값을 <표 3.3> 에 제시했다.

 

(2) 오차인자의 할당

할당한 제어인자의 조합으로 부여된 조건 아래 중합을 한 경우 중합조건의 산포에 의해 얻어지는 폴리머의 분자량 산포 정도를 평가하기 위해 전술한 오차인자를 직교표의 L₁₈에 할당했다. 오차인자와 그 수준을 <표 3.4> 에 그리고 할당을 <표 3.5> 에 제시한다.

 주  1) 수준은 평균을 제2수준으로 하고 ±(3/2)1/2σ 로 부터 제1, 제3수준을 설정했다.
         2) 계량오차는 설정값(제어인자의 수준값)으로부터 상대편차이다.

 3.6.2   외측직교표의 SN비

SN비를 구하기 위해 필요한 계산은 다음과 같은 순서로 한다.
① 제어인자의 할당표에서 실험번호별 파라미터의 중심값을 선정 한다.
② ①의 결과를 참조하면서 오차인자의 할당표에 따라 실험의 중합 조건을 구한다.
③ 시뮬레이션 계산을 하고 ②의 조건 아래 중합했을 때 얻어지는 분자량(총괄 평균 중합도)을 구한다. 이같이 하여, 제어인자를 할당한 내측직교표의 한 실험번호에 대하여 오차인자를 할당한 외측직교표에 의해 18조의 의 데이터를 얻는다. 전체로서 18 ×18 = 324 (개) 의 데이터를 얻게 된다.

내측직교표의 No. 12 에 대한 P_w의 데이터를 <표 3.5> 에 제시한다. 오차인자에 의해 실험할 때마다 중합조건이 변화하기 때문에 는 평균값의 주변에서, 이 계산 사례에서는 618~805 사이에서 분포하고 있다.



④ 외측직교표의 18조의 데이터에 대해 'SN 비'를 구한다.
여기서 검토하는 목적은 목표로 하는  P_w= 500 의 폴리머를 얻기 위한 조건을 구하는 것은 아니다. 오차인자에 의해 중합조건에 산포가 있음에도 불구하고 P_w의 산포가 최소가 되도록 제어인자의 최적조합(수준)을 결정하는 것이 목적이다. 단, P_w의 값이 작아지면 산포도 일반적으로 작아지므로 SN비를 사용하여 해석한다.

이하에 <표 3.5> 의 내측직교표 No. 12를 예로 들어 설명한다. 외측직교표의 개별 P_w를 y_i, P_w의 목표값을 y₀ , 데이터 수를 n으로 한다.
일반평균의 변동 S_m은
           S_m = ( Σ y_i )² / n = ( 749 + 734 +  + 664 )² / 18
                = 9349093    ( f = 1 )  
오차변동 S_e는
           S_e = Σ ( y_i - y₀ )² = Σ y_i² - S_m
                = 9399034 - 9349093 = 49941    ( f = 17 )  
이 된다.

오차분산 V_e는
           V_e = S_e / ( n - 1 )   = 49941 / 17 + 2937.7
SN비 η는
           η = ( 1 / n ) × ( S_m - V_e ) / V_e =  ( 1/18 )  × ( 9349093 - 293737 ) / 293737
              = 176.75

실제 데이터 해석에는 다시 η의 상용대수를 취하여 이를 10배한 것 (단위 dB)을 사용한다. 따라서
       데시벨값 = 10 × log η = 10 log 176.75 = 22.47

이렇게 얻어진 SN비의 값을 내측직교표의 각 행마다의 P_w와 log P_w의 평균과 함께 <표 3.2> 에 제시했다. 컴퓨터로 계산했기 때문에 계산 유효 자리수 관계로 말미암아 숫자는 손계산과 다소 다를  수도 있다.

 3.6.3   내측직교표의 해석  

제어인자를 할당한 내측직교표의 SN비 값을 y_i로 하면 전변동 S_T는
           CF =  ( Σy_i )² / n =  ( 12.37 + 20.03 + … + 23.55 )² / 18
                = 8349.85
           S_T = Σy_i² - CF = 12.37² + 20.03² + … + 23.55² - 8349.85
                = 212.24     ( f = 17 )
A ( 중합온도)의 주효과 변동 S_A 는
           A₁ = A에 대한 수준 1의 데이터 합계 = 122.36
           A₂ = A에 대한 수준 1의 데이터 합계 = 131.97
           A₃ = A에 대한 수준 1의 데이터 합계 = 133.35
반복수를  r로 하면
           S_A =  ( A₁² + A₂² + A₃² ) / r  - CF
                =  ( 122.36² + 131.97² + 133.35² ) / 6 - 8349.85
                = 11.94      ( f = 2 )
이하 마찬가지로
           S_B = 85.54   ( f = 2 )
           S_C = 19.15   ( f = 2 )
           S_D = 6.77   ( f = 2 )
           S_E = 69.69   ( f = 2 )
           S_F = 10.72   ( f = 2 )
           S_G = 1.36   ( f = 2 )
오차변동 S_e는
           S_e = S_T -  ( S_A + S_B + S_C + S_D + S_E + S_F + S_G )  
                = 212.24 - ( 11.94 + 85.54 +… + 1.36 )  
                = 7.07     ( f = 3 )
이 된다. 그리고 계산결과의 값은 컴퓨터로 계산한 값을 제시했으므로 끝자리가 다를수 도 있다.

<표 3.6> 과 <표 3.7> 에 해석결과를 제시한다. 유의한 인자에 대해서는 <그림 3.3> 에 그래프를 제시했다. SN비를 최대로 하는 파라미터의 조합이 최적 조건이 된다. 이 경우 분산분석에서는 유의하지 않더라도 다소라도 SN 비에 차이가 있다면 좋을 것으로 생각되는 쪽의 수준을 선택해야 한다. 따라서 최적조건은 A₃ B₃ C₃ D₂ E₃ F₂ G₃ 이다. 이 조합을 선택한 경우의 이득을 예상하면, 예를들어 한가운데의 수준 조합 A₂ B₂ C₂ D₂ E₂ F₂ G₂ 에 대해

        이득 =  ( 22.23  - 22.00 ) + ( 24.18 - 21.59 ) + ( 22.71 - 21.71 ) + ( 24.30 - 20.49 )
                   + ( 21.89 - 21.51 ) = 8.01 (dB)
이 된다. 그리고 이 값은 유의하지 않은 인자의 계산 효과를 그대로 가산한 것이므로 과대평가가 된다.




 

한편 전기나 통신회로의 사례에서는 파라미터를 거의 무제한 10 ~ 100 배씩 변경할 수도 있지만, 화학의 세계에서는 몇 개의 제한조건이 있기 때문에 파라미터를 독립적으로 변경하는 일이 곤란하다. 그리고 제어인자로서 선정한 개시제의 종류 B와 용제의 종류 E는 종류를 나타내는 변수이기 때문에 파라미터의 값을 임의로 선택할 수는 없다.

이같은 이유에서 위와 같이 선택한 최적조건의 조합아래서는 최후에 분자량 (중합도 P_w)이 목표의 500 이 되도록 SN비에 대해 영향이 적은 제어인자의 파라미터값을 조작하고 조정하려고 해도 목표값에 도달할 수 없는 경우도 있을 수 있다.

그러므로 각 제어인자가 분자량(중합도 P_w)에 어떻게 영향을 미치는 지를 알기 위해 P_w를 특성값으로 한 분산분석을 한다. 여기서는 P_w의 값이 내측직교표의 조건에 따라 크게 변화하고 있으므로 P_w 의 대수값을 데이터로 한다. <표 3.2> 의 log P_w의 데이터를 사용하여 분산분석을 하고 평가했다.   그 결과가 <표 3.8>, <표 3.9> 이다. 결과적으로 용제의 제3수준(E₃) 을 선택할 경우 중합도가 작아, 목표의 500 이 얻어질지의 여부가 상당히 의심스러웠다. 그러므로 용액중합 시뮬레이션 모델에 의해 용제로서 E₃을 선택한 다음에 각종 제약조건 아래 최대의 분자량이 얻어지는 조건으로 계산했지만, 목표인 500 보다 작은 값이었다.
 

제약이 된 것은 중합온도 A, 모노머 혼합시간 F등 중합열 제거에 관한 설비상의 문제, 개시제의 양 C등 미반응 모노머의 제한 초과라는 품질상의 문제이다. 제약을 제거하기 위해 제열설비로서 현재의 수냉이 아니라 특별한 냉매의 사용, 또는 열이동이 높은 반응기를 설계하여 사용하는 방법을 생각할 수 있지만, 어쨌든 간단하지는 않다. 이번에는 기존설비로 최적화한다는 의미에서 용제 E₃를 채용하는 것을 단념하고 차선책으로 E₂를 채용한다.

이제까지 검토한 결과에 따라 최적조건으로서

        A₃ B₃ C₃ D₂ E₂ F₂ G₃
를 선정한 결과가 된다.  

 3.6.4  2회째의 실험계획

1회째의 결과를 참고로 하여 2회째의 실험계획을 실시했다. 단, 제어인자의 할당은 직교표 L₉(3⁴)을 사용하기로 하고 다음 4개 인자를 선정했다.
        A : 중합온도 -- 70 ℃를 중심으로 하고 수준폭을 5 ℃로 했다.
       C : 개시제의 양 -- 1.5 를 중심으로 한다.
       F : 모노머 혼합시간 -- 7.0 시간 전후로 수준을 잡는다.
       G : 모노머 혼합방법 -- 전회보다 큰 값으로 변경시켜 수준을 잡는다.

그리고 제1회의 검토에서는 중합온도보다 개시제 혼합방법 쪽이 분자량 SN비에 대한 기여도가 약간 크지만, 기타 기술적인 이유에서 중합온도를 인자로서 선정하기로 했다. 그리고 개시제의 종류는 분해가 빠른 것 (전회의 B₃), 개시제의 혼합방법은 최초에 30 %(전회의 D₂), 용제의 종류는 중간 정도의 연쇄이동을 하는 것(전회의 E₂)으로 고정시켰다.

제어인자의 수준과 할당을 <표 3.10> 과 <표 3.11> 에 제시한다.
 

그리고 오차인자 및 오차인자의 할당은 전회와 마찬가지로 했다. 계산순서나 방법도 전회와 같으므로 생략하기로 하고 SN비와 log P_w에 대한 분산분 셕표와 수준별 평균은 <표 3.12> 에서 <표 3.15> 에 제시했다.
 

그리고 유의한 인자에 대해서는 결과를 <그림 3.4>에 제시했다. 2회째의 결과는 SN비 대해 유의하게 되는 인자가 없었다. 각 인자의 수준 결정은 SN비가 최대한 큰 값을 취하도록 한 다음에 분자량(중합도 P_w)이 목표의 500 이 되도록 파라미터를 조정한다. 파라미터는 SN비에는 별로 영향을 미치지 않지만 분자량에 대해서는 영향이 큰 인자를 선정한다.

 

여기서는 중합온도와 개시제의 양을 파라미터로 했다. 즉, 중합온도를 65 ℃로 하고 개시제의 양으로 조정했다. 그리고 모노머의 연속 혼합시간은 생산성도 고려한 다음에 5.5 시간으로 했다. 아울러 최종적인 중합조건으로서
       중합온도 -- 65 ℃
       개시제의 종류 -- 분해속도가 큰 것
       개시제의 양 -- 1.75
       개시제의 배분 -- 초기 30 %
       용제의 종류 -- 연쇄이동 효과가 중간정도인 것
       모노머의 연속 혼합시간 -- 5.5 시간
       모노머의 배분 -- 초기 50 %
를 선정했다. 이 조건에서 SN비의 값은 23.30 dB로서 P_w의 평균은 499.9 였다.

한편 연구자가 직감으로 최초에 예상한 조건 (최초의 L₁₈의 제어인자가 모두 제2수준  <표 3.7> 참조) 에서의 SN비는 21.69 dB로서 P_w의 평균은 447.2였다. 여기서 SN비의 계산은 <표 3.4> 와 <표 3.5> 에 제시한 오차인자를 할당한 직교표에 따라 계산된 18개의 P_w에 의해 3.2.2항과 같은 순서로 계산했다.

파라미터 설계로 얻어진 최종적인 조건과 최초의 예상조건을 비교하면
           23.30 - 21.69 = 1.61 (dB)
만큼 SN비가 향상되었다.

 3.6.5  파라미터 설계의 경제성 평가

(1) 손실함수

분자량(중합도 P_w)이 목표값 500 에서 산포하는데 따른 손실은 다음 공식으로 평가한다.
           L =  ( A / Δ² ) σ² 

여기서 분자량(중합도 P_w)의 규격이 500 ± 60 으로 규격에서 벗어난 batch는 폐기처분하게 된다.
            A = 2500 ( 원 / kg ) → 2500 ( 원 / kg ) x 5 ( ton / 배치 )  = 1250 ( 만원 / 배치 )

그리고 규격에서 벗어났을 때의 손실 A는 공장 출하가격으로 했지만, 만들면 만든만큼 팔리는 물품 부족의 제품이라면 사용자의 구입가격으로 해야 할 것이다.

(2) 파라미터 설계의 평가
 

(a) 파라미터 설계전. 연구자가 직감으로 결정한 최초의 예상조건을 파라미터 설계전으로 생각한다. 1회째 의 파라미터 설계시 제어인자의 수준을 모두 제2수준으로 한 것으로 3.6.4 항(2회째의 실험계획)의 마지막 부분에서 제시했지만, SN비는 21.69 dB로서 P_w의 평균은 447.2였다.

분자량(중합도 P_w)이 목표의 500 이 되어도 SN비는 달라지지 않을 것으로 생각되므로 SN비 η₀ 에서 산포 σ₀²을 산출한다.
           η₀ = 21.69 dB = 147.57 ( 진수 )

여기서 η₀ = ( 목표값 )² / σ₀²  이므로 역산으로 σ₀²을 구한다.
           σ₀² = 500² / 147.57 = 1694.1

파라미터 설계전의 산포에 의한 손실 L₀는
           L₀ = 1250/60² × 1694.1 = 588.2 ( 만원 / batch )
가 된다.
 

(b) 파라미터 설계후. 현재의 시스템에서 파라미터 설계후의 분자량 산포 σ₁ 을 산출한다. SN비로부터 산출해도 되지만 파라미터 설계후 결정된 최적조건에서의 산포를 계산한 허용차 설계의 분산분석표 (3.17)에서 산출한다.
           σ₁² = S / f = 19890 / 17 = 1170.0

파라미터 설계후의 산포에 의한 손실 L₁은 다음과 같이 된다.
           L₁ = 1250/60² × 1170.0 = 406.2
 

(c) 파라미터 설계의 효과. 산포 감소에 의한 이익은
           L₀ - L₁ = 588.2 - 406.2 = 182.0 ( 만원 / 배치 )
가 된다. 연간 12배치 (60 ton/년) 생산하는 것으로 보고
           182.0 × 12 = 2184 ( 만원 / 년 )
이 된다. 설비 투자 없이 얻어지는 이익으로서는 큰 값이다. 

  3.7  분자량 제어의 허용차 설계                               

  3.7.1  허용차 설계의 사고방식

파라미터 설계만으로는 내란이나 외란의 영향을 충분히 작게 할 수 없는 경우에 코스트가 들더라도 영향이 큰 오차인자에 대해서 산포를 좁은 범위로 억제한다. 이 조작을 합리적으로 하는 것이 허용차 설계이다. 오차인자의 영향을 평가하기 위해 앞서 결정한 최적조건 아래 오차인자를 할당한다. 이 경우 파라미터 설계에서 선정하지 않은 오차인자가 있다면, 이것도 선정하면 좋다.

여기서는 오차인자와 그 수준은 전과 같은 것으로 하고 마찬가지로 할당하기로 한다. 할당과 얻어진 P_w의 값을 <표 3.16> 에 제시한다.
 

오차인자를 요인으로 P_w의 평균값(500)으로부터의 벗어남을 데이터로 하여 분산분석을 한다. 각 인자의 수준은 등간격으로 정해져 있으므로 오차인자의 주효과는 1차, 2차의 직교다항식 성분으로부터 분해하기로 한다. 계산결과를 정리한 것이 <표 3.17> 이다 (인자의 유의한 2차성분이 있는가를 확인하는 방법이나, 아래의 표에서 보는 바와 같이 2차성분은 일반적으로 나타나는 일이 적다. l 은 linear, q는 quadratic을 의미한다). 기여율 ρ를 보면 분자량(중합도 P_w)의 목표값으로부터의 분산에 대해 중합온도가 51.9 %, 모노머 중의 불순분의 양이 21.5 %를 차지하고 있다.
 

만약 중합온도를 현재의 σ = 1.25 ℃ 에서 σ = 0.25 ℃로 컨트롤하고 다시 모노머의 배합 탱크를 갖춤으로써 불순분의 양을 σ = 0.5 % 에서 절반인 σ = 0.25 % 로 하는 개선책을 취한다면 오차 분산은
          100.0 - 51.9 × [ 1 - ( 0.25 / 1.25 )² ] - 21.5 × [ 1 - ( 0.25 / 0.5 )² ] = 34.0
가 되며, 개선전의 34.0 %까지 감소시킬 수 있다.

어쨌든, 이런 대응조처는 여분으로 코스트가 들게 되며 이들에 의해 얻어지는 품질향상의 이점을 손실함수로 비교하고 결정해야 한다.

 3.7.2  허용차 설계 손실의 시산

프로세스 컴퓨터 도입에 의해 온도의 제어성을 향상시켜 현재의 산포 σ = 1.25 (℃)를 σ = 0.25 (℃)로 한 경우를 시산한다.

(1) 제어성 향상후의 산포 σ₂은 향상전의 산포를 σ₁으로 하면
           σ₂² = σ₁² × [ 1 - 0.519 × { 1 - ( 0.25 / 1.25 )² } ]
                 = 1152 × 0.502 = 578.0
여기서 σ₁은 파라미터 설계후의 값이다.

(2) 향상후의 산포에 의한 손실은 분자량 (중합도 P_w) 규격이 500 ± 60 이고 규격에서 벗어났을 때의 손실이 1250 만원/배치이므로

         L₂ = 1250/60² × 578.0 = 200.7 ( 만원 / 배치 )

한편 향상전에는
           L₁ = 1250/60² × 1152.0 = 400.0 ( 만원 / 배치 )
이다.

(3) 경제평가를 해 보면, 산포 감소에 의한 이익은
           L₁ - L₂  = 400.0 - 200.7  = 199.3 ( 만원 / 배치 )
연간 12배치 (60 ton/년) 생산하는 것으로 보고
           199.3 × 12 = 2392 ( 만원 / 년 )
이다. 컴퓨터 제어시스템 도입비용은 이런 효과에 비할 바가 되지못하므로 가능한 빨리 도입하는 것이 타당한 것으로 생각할 수 있다.

 3.8  파라미터 설계의 검토                                       

중합반응의 시뮬레이션 모델로 품질공학의 방법을 사용함으로써 효율적으로 분자량 제어를 하는 방법에 대해 설명했다. 이 예제의 파라미터 설계에서 얻어진 SN비의 이득은 기대한 만큼 큰 것은 아니었다. 이는 SN비에 영향이 큰 용제(E₃)를 선택할 수 없었기 때문이다. 이와같이 화학반응에서는 조정용 파라미터를 발견하는 일이 곤란한 경우도 있다. 이 문제에 한해서 말한다면, 용제 선택이 요점이므로 E₃와 E₂사이에 적당한 용제가 없는지 찾아보는 일이 중요하다.

그러나 아무리 작은 값이라도 코스트 증가없이 타사보다 다소라도 산포가 작은 제품을 제조하기 위한 조건을 발견하거나, 산포를 어떤 범위로 억제하기 위해 어떤 조건을 어떤 범위로 컨트롤하면 되는지를 명확히 하는 일은 상당히 중요하며, 여기에 소개한 방법은 앞으로 좀더 활용해야 할 것으로 생각된다. 실제의 중합조작은 여기서 다룬 것보다는 훨씬 복잡하고 치밀한 것이라는 사실을 예측할 수 있으므로 선정하는 제어인자의 숫자도 많고 좀더 큰 직교표를 사용할 필요가 있을 것 이다. 여기서는 분자량만 착안했지만, 현실의 문제에서는 일반적으로 동시에 고려해야 할 특성값이 많이 존재한다. 예를들면, 반응시간의 장단, 반응률이나 잔존 모노머의 양, 분자량 분포와 공중합조성분포의 대소, 제열의 가부와 안전성같은 것을 생각할 수 있다. 이런 복수의 특성값을 동시에 고려하면서 최적 파라미터(조작변수)를 합리적으로 결정하는 것이 다음의 과제이다.

끝으로 당연한 일이지만, 얻어진 결과가 실제 공정에 적용될 수 있는지 여부는 시뮬레이션 모델이 대상 공정을 얼마나 확실히 표현하고 있는지에 달려 있으며, 중합반응의 메커니즘에 관한 연구와 시뮬레이션 모델을 구성하는 합리적인 결정방법은 가장 중요한 연구과제이다. 연구 가운데 파라미터 결정에 관해서도 품질공학의 방법이 유효하게 될 것이다.