제2편 상론

         1장 손실함수와 SN비

   
 

1.1   손실 함수

1.2   SN비와 특성

1.3   정특성

       1)   望小특성

       2)   望大특성

       3)   望目특성

       4)   백분율 특성

       5)   계산식과 수치 例

1.4   인자의 분류

1.5   손실함수의 변형

 

  1.1  손실 함수                                                         

품질 공학에서는, 「품질이란 제품이 출하된 후 사회 끼치는 손실이다.  단 기능 그 자체에 의한 손실은 제외한다」 고 정의하고 있다. 

<제1편 1.3  손실에 대한 사고방식>에서 고찰한 바와 같이  y = m 일 때 손실은 0 이고, m 에서 멀어질수록 손실은 2차함수의 값으로 커진다.

 

본래 m 이 되어야 할 특성값이 y가 되는데 따른 손실 L(y)는,  

               L(y) = k ( y - m ) 2                                            

품질손실계수 k는  y값의 기능적 한계치에서 유도할 수 있다. 즉 제품중 절반이 기능을 상실하게 되는 y값을 m±Δ 라고 하고, 이 한계치에서 손실이 A 라고 할 때, 위의 식에 대입하면  
               
     A = k ( y - m )2 = k Δ
              즉  k = A / Δ
2      
그러므로 손실함수 L은 다음식으로 주어진다.
                  L
(y) = ( A / Δ2 ) ( y - m ) 2                                                                              (※)

  식 L(y) = k (y - m)2 에서 손실 L(y) 는 y 와 m 의 차이의 제곱 (평균)에 비례한다는 사실을 나타내며, 가능한 한 규격의 중심이 되도록 해야 한다는 것을 의미한다.  

   예)  컬러 텔레비전의 전원회로의 기능은 100V AC를 115V DC로 변환하는 것이다. 출력전원이 115V일 때 텔레비전으로써의 기능이 최적이 되도록 수신회로나 브라운관의 설계가 이루어진다. 즉 출력전압 y 가 115 V로부터 벗어나면 어떤 손실이 발생한다. 윗식에서 출력전압이 y가 되는데 따른 손실 L(y)는
                L(y) = k ( y - 115 )2                                                              
비례상수 k는 다음과 같이 구한다. 목표값 115V로부터 얼마나 벗어나면 텔레비전으로서의 기능을 하지 못하는 가를 알아본다. 출력전압이 115V 에서 25V 이상 벗어나면 화상이 어두워지거나 흐려져 소비자는 실제로 텔레비전 세트를 바꾸거나 전원세트를 수리하는 것으로 본다.   이 때의 교환구매나 수리비용의 평균을 20,000원이라고 하자. 그러면 벗어남의 크기 (y - 115)가 25가 되었을 때 손실 L(y)가 20,000원이 됨으로 비례상수 k 는
                k = A / ( y - m )2 = 20,000 / 252 = 32                                                          
따라서 손실함수 L(y)는 다음과 같이 된다.
               L(y) = 32 × ( y - 115 )2   (원)            


  1.2  SN비와 특성                                                    

   통신 공학에서 통신의 품질은 신호가 얼마만큼 선명한가로 나타낼 수 있으며, 그 값으로 (signal / noise)로 계산되는 SN비를 사용한다. 여기서 signal은 신호, noise는 잡음을 말한다.  아무리 신호가 크더라도 noise가 상대적으로 더 커지면 신호를 전달하는 시스템으로써 기능하지 않는다.

 실제적으로는 SN비를
               
η = 10 ×  log (Signal 분산 / Noise 분산)
로 정의하며, η
(eta :이 - 터)의 단위는 데시벨(dB)이다.  여기서 10배를 한 것은 사용하기 편리한 수치로 만들기 위한 것이며, log를 취하는 것은 데이터의 가법성을 높이기 위함이다.

품질 공학에서도 데이터의 품질을 중시하여, 데이터의 선명도를  SN비로 나타내고자 한 것이 Taguchi 박사의 卓見이라 할 수있다.

어떤 목표치가 있는 경우,  분자인 Signal분산은 평균치의 제곱에, 분모인 Noise분산은 데이터의 표준편차의 제곱에 해당하여, 결국 SN비가 크다는 것은 데이터의 산포가 작다는 것을 의미한다. 그러므로 특성치 대신 SN비를 다루는 품질공학에서는  모든 초점이  산포의 감소, 즉 균일한 품질을 목표로 하는 것이 된다.

   이 SN비는 특성에 따라 계산식이 다르나, 식의 구성에서 보는 바와 같이 어떤 경우에도 SN비는 클수록 좋다.

 정특성과 동특성  

   정(靜)특성이란 고정된 한 점의 입력값에 대하여 높은 기능성이 요구되는 특성을 말하며, 치수, 강도, 출력전압, 언밸런스 양, 진원도, 순도, 온도특성등 제조현장에서 많이 만나게 되는 특성이다. 여기에는  마이너스가 아니면서 작을수록 좋은 망소특성, 마이너스가 아니면서 클수록 좋은 망대특성, 정해진 목표값이 있는 망목특성이 있다.

   위의 고정된 한 특정 조건에서의 일정한 값이 요구되는 것이 아니라, 망목특성중에는 목표하는 출력이 수시로 달라져야 할 필요가 있는 동(動)특성이 있다. 자동차의 속도(엑세러레이터), 자동차의 진행방향(스티어링 휠), 소재와 프레스기의 압연(壓延)성능, 골프공의 성능, 계측기( 입력값), 제어 회로(입력값)등이 그런 예이며, 이들도 각각의 입력에 대해 그에 상응하는 일정하고 안정적인 (noise의 영향을 받지 않는) 출력을 요구한다.     

    이들 각 특성에 따라 SN비는 달리 계산되며 아래와 같이 구분될 수 있다. 

 

  1.3  정특성                                                             

 1)  망소특성

minus값을 취하지 않고 작을수록 좋은 것이 망소(望小)특성이다.  마찰, 소음 등은 망소특성이다.  망소특성의 목표값은 제로이므로, 특성값 y와 목표값과의 차이의 제곱은 y2 이다
               {∵ ( y - 0 )2 = y2 }

  망소특성에서 목표값과의 차이의 제곱인 y2 의 평균을 σ2 으로 나타내면
                
σ2 = ( y12 + y22 + … + yn2 ) / n                            
로 주어진다.

  품질공학에서는 σ2 의 역수를 SN비 라고 정의한다. 실용적으로는 이 값에 對數를 취하고 10배 한 것을 decibel 단위의 SN비라고 하며 기호 η 로 나타낸다.   그러므로
                
 η = 10 log (1 / σ2)
                    = - 10 log
σ2
                 
   = - 10 log { ( y12 + y22 + … + yn2 ) / n }                                                         (※)

망소특성치는 평균치가 작아지면 변동도 작아지는 경향이 있으므로, 평균치의 해석이라는 관점에서도 타당하다고 볼 수 있다.  그러나 평균치는 같아도 변동이 작거나 큰 것이 있으므로, 이 SN비로 변환하여 해석하는 쪽이 합리적이다.  평균치도 변동도 작을수록 SN비는 커진다.    위 식에서
                 
σ2 = 10 (- η / 10 )                                                                                                (※)


 
 주의 : 목표치가 zero이나 minus값을 가질 수 있는 경우는 망목특성으로 해석한다 (휨, 굴곡등) 

 2)  망대특성  

minus값을 취하지 않고 클수록 좋은 특성이다.  인장강도, 접착강도 등이 망대(望大)특성이다. 이러한 특성치의 경우는 평균치는 크고 변동은 작은 것이 이상적이다.  그래서 특성치의 역수(1 / y)의 제곱평균을 σ2 로 나타내면
           σ2 = ( 1 / y12 + 1 / y22 + … + 1 / yn2 ) / n
이며  망소특성에서와 마찬가지로
            η = 10 log ( 1 / σ2 )
               = -10 log
σ2
               = -10 log { ( 1 / y12 + 1 / y22 + … + 1 / yn2 ) / n }                                               (※)
 평균치는 클수록, 변동은 작을수록  SN비는 커진다. 
 

 3)  망목특성

아래의 망목특성 관계식은 다음 장 <변동의 해석>에서 구체적으로 설명한다

  어떤 정해진 목표치가 최적이며 목표치 보다 작아도 커도 바람직 하지 않는 것이 망목(望目)특성이다.  치수등 상하의 공차를 주는 특성이 여기에 해당된다. 
   minus값을 갖지않는 망목특성에서 평균치가 m이고 표준 편차가 σ일 때
               SN비  η = 10 log ( m2 / σ2 )
                            
= 10 log [ { ( S
m - Ve ) / n} / Ve ]                                                          (※)                감도   S = 10 log { ( Sm - Ve ) / n }                                                                      (※)
SN비의 분자를 감도 S라고 하는데, 이것은 특성의 목표값으로 조정할 때 사용된다.

망목특성의 경우, 실험에 적용시킬 오차 인자로는 출력 특성에 定性적 경향이 있는 것을 채택해야 한다.  망대, 망소특성의 SN비가 평균치와 변동을 종합 평가하고 있는데 대해, 망목특성의 SN비는 변동의 상대적인 평가( m2 / σ2 )이기 때문에, 오차 인자의 역할이 특히 중요하다. 

 4)  백분율 특성  

불량률, 수율과 같이 0에서 100까지의 한정된 값만 취할 수 있는 백분율(%) 데이터는 산술적 가법성이 좋지않다.    0 % 와 100 %의 양끝에서 가법성이 특히 좋지 않으며, 이의 해소책으로 ① arc sin변환법  ② log법  ③ 오메가 법(혹은 logit 변환)등이 있는데 그중  오메가 법이 최선으로 알려져 있다. 오메가 변환값 η는 - ∞로부터 ∞까지의 범위를 취할 수 있고, 精度가 향상되며, 가법성도 기대할 수 있다. 백분율 값을 P라 할 때 오메가 변환값 η는           
              η = -10 log ( 1 / P - 1 )     (dB)                                                                             (※)
오메가 변환값으로 계산의 조작을 하고 난 후, 최종값을 아래의 식에 의해 백분율로 고치게 된다.
 위의 η 를 백분율로 환원코자 하면
             
 P = 1 / {10 (- η / 10) + 1}                 

예)  현조건 A1 B1 C1 에서 부품의 불합격율이 10%이다. 재료 A1 을 A2 로, 기계 B1 을 B2 로, 작업법 C1 을 C2 로 바꾸어 따로 실험한 결과 다음과 같았다. 세개의 인자를 모두 바꾼 A2 B2 C2 에서는 불합격율이 어떻게 될 것인가?

 

백분율값으로 현재수준에서 각 효과를 더하면
              μ = T + ( A2 - T ) + ( B2 - T ) + ( C2 - T )
                    = 10 + ( 2 - 10 ) + ( 4 - 10 ) + ( 2 - 10 )
                    = -12  (%)
즉, 가법성이 좋지 않아 넌센스의 minus값이 나온다.

오메가법에 의한 계산
 A
2, B2, C2 의 효과를 구하여 T의 데시벨값에 더하면
              η = - 9.54 + { -16.90 - (-9.54) } + { -13.80 - (- 9.54)} + { -16.90 - (-9.54)}
                     = -28.52
이것을 백분율 값으로 돌리면
                -10 log ( 1 / P - 1 ) = -28.52
               P = 1 / { 10 (- η / 10 ) + 1} =   1 / { 10 ( 28.52 / 10 ) + 1 }          
                P = 0.0014
즉 불량률은 0.14 %가 된다.

    5)  평균과 산포에 따른 SN비의 거동(擧動)

  
    같은 평균에서 산포에 따라 SN비가 어떻게 달라지는가?  그 변화는 어느 정도인가?
    같은 산포에서 평균값에 따라 SN비가 어떻게 달라지는가?  그 변화는 어느 정도인가?
    (앞에서 언급한 바이지만 SN비는 클수록 좋다)

  
   1.4  인자의 분류                                                      

안정성의 개선연구에서 다루는 인자는 그 역할에 따라  두가지로 나뉜다. 첫째는 안정성을 평가하는 특성값인 SN비를 구하기 위한 인자이며, 다른 하나는 SN비의 우열을 비교하기 위한 인자이다.

망소특성, 망대특성에서는 SN비를 구하기 위해서 오차인자를 고려해야 한다. 망목특성의 경우에는 신호인자와 오차인자가 있다(신호인자를 다루지 않는 경우도 있다). SN비를 비교하는 인자로서는 제어인자와 표시인자가 있다. 각각에 대해 설명한다.

 1)  제어인자  

안정성의 최선조건을 선택하기 위해 다루는 인자이다. 안정성을 개선하기 위해 다루는 설계상, 제조상의 인자는 모두 제어인자이다 (수준을 선택해서 공정에 넣을 수 있다)
   접착강도를 개선할 목적이라면 접착제는 무엇이 좋은가, 도포횟수는 몇 회가 좋은가 등 접착방법을 결정하는 모든 인자이다. 그리고 AC 100V의 입력을 DC로 변환하는 회로의 설계라면, 회로를 구성하는 素子 모두가 제어인자이다.
   다루는 제어인자는 가능한 한 많게 한다. 바꿀 수 있는 인자는 모두 다루어 보는 자세로.

 2)  표시인자  

제어인자와 마찬가지로 그 수준에는 기술적 의미가 있지만, 수준 선택이 무의미한 인자를 말한다. 사용조건, 품종, 크기의 차이등이 이에 해당된다. 본래 SN비가 좋다는 것은 사용조건등의 영향을 받기 어렵다는 것도 포함되므로, 그런 의미에서는 오차인자로 하는 편이 좋은 경우도 많다. 그러나 자동차의 조종성을 논의할 때 저속 조종성과 고속 조종성간에는 noise의 영향이 분명히 달라지며 대상으로 하는(선회반경등) 특성값 자체가 대폭적으로 다르다.
   저속이든 고속이든 조종성에는 차이가 없는 것이 분명히 좋지만, 기술적으로 차이가 분명한 경우에는 저속 · 고속이라는 조건아래 SN비가 어느정도 다른가를 파악해 두는 일도 중요하다. 이같이 취급되는 인자를 표시인자라 한다. 고속에서는 SN비가 좋지 않으니 운전하지 말아 달라고는 할 수 없으므로 제어인자는 아니다.

 3)  신호인자  

SN비의 신호를 평가하기 위한 인자이다.
동특성에 있어서 신호인자는 출력에 대한 요구를 충족시키기 위한 것으로 능동적인 신호인자라고도 한다. 능동적인 신호인자로서는 염색농도를 목표값에 접근시키기 위해 염료 사용량으로 조정하는 경우라면, 염료의 사용량이 신호인자가 된다.
  그리고, 계측방법 등에서 다루는 특성은 수동적 특성이라고도 불리는데, 수동적 특성에서는 참값을 변화시키는 인자가 신호인자이다.

 4)  오차인자  

산포의 원인이 되는 내란, 외란등 모든 인자이다. 내란이란 사용부품이 규격의 중심으로부터 벗어나거나, 사용하는 동안에 열화등으로 본래 지닌 특성에서 벗어나는 것을 말한다. 그리고 외란은 사용환경등이다.
   망소특성에서는 특성을 크게 만드는 원인계, 망대특성에서는 값을 작게 만드는 원인계이다. 예를 들면 인장강도는 클수록 좋은 망대특성이지만, 온도가 높으면 약해지는 경우에는 온도가 오차인자이다.
   동특성과 같은 망목특성에서는 어떤 목표에 대해 최적 조작을 했을 때 결과를 그르치는 원인이 오차인자이다. 자동차 조종성의 SN비 연구에서는 노면의 상태, 적하(積荷)의 치우침, 타이어의 공기압 산포등이 오차인자가 된다.

◎ 인자는 이상과 같이 분류되지만, 개별인자가 어느 인자로 분류되는지는 실험의 상황에 따라 달라질 수도 있다.(작업온도는 일반적으로 오차인자가 되지만, 매우 중요한 경우라면 공조시설을 하게 될 것이며, 이런 경우는 특정온도로 고정시킬 것이므로 제어인자가 된다. 작업자의 경우도, 특정작업자를 고정배치할 수 있는 경우는 제어인자가 될 수도 있으나, 일반적으로는 오차인자가 될것이다)

  1.5  손실 함수의 변형                                               

앞절 1.1 에서 망목특성의 손실함수를 보였다. 다른 특성의 손실함수를 보자.

1) 망소특성

망소특성에서는 이상적인 값(목표값)이 0 이다. 그러므로
L(y) = k ( y - m ) 2  에서 m을 0 으로 두면
               
L(y) = k y 2
                             
= ( A / Δ2 ) y 2

2) 망대특성

망대특성에서는 특성치를 역수로 취하면 망소특성과 같은 형태를 갖는다. 망소특성에서 y 대신 1/y를 대치하면
               
L(y) = k ( 1 / y ) 2
      
이 식에서   A 와 Δ를 대치시켜서 k에 대해서 풀면 k  = A × Δ2    를 얻는다.

 3) 망목특성에서 평균품질 손실

품질특성 y 인 제품의 n 개의 측정치가  y1, y2, y3, …  yn 라고 하면  평균 품질 손실 Q는 다음과 같이 주어진다.
        
   Q = (1/n) [ L (y1) + L (y2) + …  + L (yn) ]
                = ( k / n )
[  ( y1 - m )
2 + ( y2 - m )2 + … +  ( yn - m )2 ]
                =  k [ ( μ - m )
2 + { ( n - 1 ) / n } σ2

여기서  μ 와  σ2 은 각각 y 의 평균과 분산을 나타내고 다음과 같이 계산된다.
             μ  = Σ yi   / n             
σ2 = Σ ( yi - μ  )2 / ( n - 1 )
 
n 이 크면 (즉 ( n - 1 ) / n ≒ 1 ) 평균 품질 손실 Q는 다음과 같이 된다.
            
 Q =   k  [  ( μ - m )
2  +  σ2 ] 

즉 손실은 다음의 두 요소로 구성됨을 명확히 하라.
  ◆ y의 평균과 목표치와의 편차에 의한
 k ( μ - m )2  
 
 ◆ y의 편차의 제곱평균(즉 표준편차의 제곱 :분산)에 의한  σ2

참고 : 식의 변환

 [  ( y1 - m )2 + ( y2 - m )2 + … +  ( yn - m )2 ]
=
Σ ( yi - m )2
= Σ [ ( yi - μ ) + ( μ - m  ) ]2
= Σ  ( yi - μ )2  + Σ 2 ( yi - μ  ) ( μ - m  ) + n ( μ - m  )2
=  ( n - 1 ) σ2   +   2 Σ ( yi - μ  ) ( μ - m  ) + n ( μ - m  )2
=  ( n - 1 ) σ2   + n ( μ - m  )2

  단    
Σ ( yi - μ  ) = 0 이다.