1.1  動특성                                                             

 모든 시스템은 입력으로서의 신호와 출력의 관계를 이용해, 목적을 달성하고 있다.  신호로서 이용되는 인자는, 출력 특성과 직선 관계에 있는 것이 보통이다.  그러나, 완전한 직선 관계가 아니고 오차를 가지고 있으므로, 제어성의 양부를 평가하는데 직선의 기울기와 오차의 비를 비교하여 가늠하게 된다. 

 다음은 parameter 설계의 개념을 도시한 것으로  그림의 왼쪽은 시스템이 noise의 영향에
의해 불안정한 상태에 있는 것을 나타내고 있다. 입력 신호와 출력 특성의 이상적인 관계는 직선이지만, 실제로는 여러 noise에 의해 이상 관계(직선)로 부터 벗어나 흩어지게 된다. parameter 설계란, noise 자체는 억제하지 않고 출력 특성 y가 noise z₁, z₂, ..., z_k 의 영향을 받지 않는(혹은 덜받는 쪽으로), 내부 parameter x₁, x₂, ..., x_n 의 값을 설정하므로 오른쪽의 안정상태를 만들고자 하는 것이다.

  

   신호 인자의 단위 변화량에 대한 목적 특성의 변화를 β, 오차 분산을 σ² 로 하면  dB단위의 SN비 η는
                   η = 10 log ( β² / σ² )                                                                                       (※)
로 정의 한다.                                                                                                                         

  염색농도 y와 염료 M의 관계가 y = β M일 때 β 가 크다는 것은 같은 염료에 대해서 염색이 진하게 된다는 것이며(효율이 좋다)  A가 B보다 조업에서 유리하다. 또한 A. C를 비교하면 β는 같으나 산포가 작은 A쪽이 좋다. 동특성에서는 이와 같이 β² / σ² 의 값을 높이는 것이 포인트이다.

   동특성에는 다음 의 3가지가 있다.
① zero점 비례식 : 입력 (신호 인자) 을 M이라 하고, M = 0 때 출력 y = 0 이 분명하여, y = βM  이 이상적인 경우   
② 기준점비례식 : 기준이 되는 점 M_s가 있고, 그 점에서의 치우침이 zero가 되도록 기준점 교정을 한 다음에, 기준점이 zero점인 것으로 간주한 비례식 y－y_s = β(M－M_s)를 이상적인 경우로 삼는 경우.
③ 1차식 : 신호 인자와 데이터의 사이에, 특별한 제약 없이 y = α＋βM 인 직선 관계를 상정하는 경우. α 와 β 를 동시에 추정하여 분산을 계산한다. 

위의 각각에 대하여 설명한다

    1.2   zero점 비례식                                                   

  신호인자, 즉 입력을 M으로 하고 M = 0 일 때 y = 0 이라는 사실이 분명하며(이론적으로 또는 zero점 교정을 했기 때문에) M에 대한 y의 이상적인 관계가 비례식
               y = β M
인 경우를 생각한다. 실제에서 y는 신호인자 M과 여러가지 오차인자 x₁, x₂, …, x_n의 함수이다       

             y = f ( M, x₁, x₂, …, x_n )
위의 두 개의 식의 차이가 오차 e이다, 즉,
               e = f ( M, x₁, x₂, …, x_n ) - βM

β는 감도라고 불리는데, 감도 β에 대한 오차 e의 비율을 제곱 평균한 것은 SN비 η 의 역수와 같다.

             1 / η = [ { f ( M, x₁, x₂, …, x_n ) - βM } / β ]² 의 평균
실제로는 신호인자 M의  k수준 M₁, M₂, … M_k 에서 오차인자의 공간으로부터  r₀개씩의 점을 선정하고 출력 y의 값을 읽는다. 데이터는 다음의 표와 같다. 

위와 같은 데이터에서 비례상수 β와 SN비 η 를 다음과 같이 구한다.  
 

 1) zero점 비례식의 추정

오차분산이 최소가 되도록 감도계수 β를 추정하면
             β = ( M₁y₁ + M₂y₂ + … + M_ky_k ) / r                                                                         (※)
단, 여기서  r은 유효除數라고 불리며
             r = r₀ ( M₁² + M₂ ² + … + M_k² )                                                                               (※)
이다.  이때 y와 M의 관계식(zero점 비례식)은
             y = β M
이 된다.

 2) zero점 비례식의 SN비 계산

SN비를 구하기 위한 분산분석을 한다. 전변동  S_T와 신호인자의 1차효과 S_β는 다음의 일반식으로 계산한다.
           S_T = 개별 데이터의 제곱합 = y₁₁² + y₁₂² + … + y_kr0²
             S_β = ( M₁y₁ + M₂y₂ + … + M_ky_k )² / r                                                                      (※)

오차변동은
             S_e = S_T - S_β
가 되며 오차분산은 이를 오차의 자유도(kr₀ - 1) 로 나누면
             V_e = S_e / ( kr₀ - 1 )
가 된다.

분산분석표에 정리하면 다음과 같다.  

분산의 기대값에서 β²과 σ² 의 추정값은
             β² = ( S_β - V_e ) / r
             σ² = V_e
이다.  따라서 SN비 η 는
             η = β² / σ² = { ( S_β - V_e ) / r } / V_e                                                                                                (※)
가 된다.

 3) zero점 비례식의 계산 例

새로 개발한 변위계의 SN비를 구한다. 신호로서 부여되는 변위값은 정밀도가 더 높은 것으로 측정하여 설정했다. 측정자를 바꾸어 2회 측정한 결과 다음의 데이터를 얻었다. 변위 M이 제로일 경우 변위계의 출력 y는 제로라는 사실을 알고 있었기 때문에 zero점 비례식을 가정한다.  
분산분석을 한다.
                S_T = 65² + 74² + … + 197² = 131, 879      (f = 6)
             r = 2 × ( 30² + 60² + 90² ) = 25,200
             S_β = ( 30 × 139 + 60 × 283 + 90 × 405 )² / r
                  = 57, 600² / 25,200 = 131, 657       (f = 1)
             S_e = S_T - S_β = 131, 879 - 131, 657 = 222      (f = 5)
             V_e = S_e / 5 = 222 / 5 = 44.4
이를 정리하면 다음의 분산분석표가 된다.

SN비는
             η = { ( 131657 - 44.4 ) / 25200 } / 44.4 = 0.1177
이 된다. 데시벨값으로 변환시키면
             η = 10 log 0.1177 = - 9.29  (dB)
이다. 감도계수의 추정값은
             β = 57600 / 25200 = 2.285
가 되며, M과 y의 관계식은
             y = 2.285M
이 된다.

  1.3   기준점 비례식                                                     

어떤 기준이 되는 점 M_s의 표준이 있고 그 점에서의 치우침이 제로가 되도록 기준점 교정한 다음에 기준점이 zero점인 것으로 간주한 비례식을 이상적인 것으로 삼는 경우이다.  y와 M의 이상적 관계를
             y - y_s = ( M - M_s )
로 한 결과가 된다. 실제로 사용하는 신호의 범위가 제로로부터 크게 이탈되어 있을 경우 등에 사용되는 수가 많다 ( y bar 를 y로 표기함 )

 1) 기준점 비례식 데이터의 사전처리

zero점 비례식의 수치표를 다음의 표와 같이 기준점 교정한 데이터로 변환한다. 기준점 데이터의 평균값으로 기준점 교정하는 경우에 대해 설명한다. 기준점의 표준 M_s에 대한 판독값을 y_s1, y_s2, …, y_sro 로 하면 그 평균값 y_s는
             y_s = ( y_s1 + y_s2 + … + y_sro ) / r_o
가 된다. 모든 판독값으로부터 y_s를 빼어 다음표와 같이 다시 데이터를 계산한다. 그리고 표준값도 각각의 값에서 M_s를 뺀 값,   M_i - M_s로 고친다. 기준점 선정방법에 따라 M_i - M_s의 값은 마이너스가 되는 경우도 있다. 그리고 y_i는 다시 계산한 데이터의 합이다.

평균값 y_s대신에 별도로 기준점의 판독값을 취하여 사용하거나 반복 1회째의 기준점 판독값을 사용하는 등 기준점 교정방법에는 임의성이 있다

 2) 기준점 비례식의 추정

최적 기준점 비례식의 감도계수 β는 다음식으로 추정한다.
             β = { y₁ ( M₁ - M_s ) + y₂( M₂ - M_s ) + … + y_k ( M_k - M_s ) } /r                                    (※)
유효제수는
             r = r₀{ ( M₁ - M_s )² + ( M₂ - M_s )² + … + ( M_k -M_s )²}                                              (※)
이다. 회귀식은
             ( y - y_s ) = β ( M - M_s )
가 된다. 

 3) 기준점 비례식의 SN비 계산

위표의 데이터를 마치 zero점 비례식의 데이터와 같이 계산한다. 다만 오차의 자유도는 zero점 비례식의 경우와 같은 것으로 한다.

전변동과 신호인자의 1차효과는 다음 일반식으로 계산된다
             S_T = 개별데이터 (y_ij - y_s)의 제곱합
             S_β = { y₁ ( M₁ - M_s ) + y₂ ( M₂ - M_s ) + … + y_k ( M_k - M_s ) }² / r                              (※)
오차변동은
             S_e = S_T - S_β
오차분산은
             V_e = S_e / ( kr₀ - 1 )
이며 분산분석으로 정리하면 다음 표와 같다.
SN비 η 는
             η = { ( S_β - V_e ) / r } / V_e
로 계산된다.

다시 M_i - M_s를 M_i,   y_ij - y_s를 y_ij로 고치면 형식적으로는 zero점 비례식과 같은 식이 된다.
             S_T = 개별 데이터의 제곱합 = y₁₁² + y₁₂² + … + y_kr0²
             β = ( M₁y₁ + M₂y₂ + … + M_ky_k ) / r
             r = r₀ ( M₁² + M₂2 + … + M_k² }
             S_β = ( M₁y₁ + M₂y₂ + … + M_ky_k )² / r

註 : 기준점 교정할 때, 게산에 사용하는 데이터로부터 y_s을 계산했을 경우에는 전변동의 자유도는 원래는(kr₀ - 1) 이 되며 따라서 오차의 자유도는 (kr₀ - 2)가 된다. 그리고 계산에 사용하는 데이터와는 별도로 기준점 교정을 위한 데이터를 취했을 경우에는 전변동의 자유도 는 kr₀, 오차의 자유도는
(kr₀ - 1) 이 된다. 엄밀하게는 구별을 해 두어야 하지만, 오차의 자유도가 충분한 실험에서는 그차이가 작기 때문에 간편히 통일시켜 (kr₀ - 1) 로 했다.  

 4) 기준점 비례식의 계산 예

올레핀 농도를 측정하는 분석계의 SN비를 구한다. 신호인자로서 4가지 농도를 지닌 표준액을 사용했다. 이 분석계는 5%의 표준액을 기준으로 한 기준점 비례식 교정을 하여 사용한다. 측정자를 바꾸어2회 측정한 결과 표와 같은 데이터를 얻었다.  

우선 데이터를 사전처리 한다. M_s = 5%의 데이터의 평균은
             y_s = ( 5.2 + 5.0 ) / 2 = 5.1
이므로 각 데이터로부터 이 값을 빼서 데이터를 기준점 교정한다. 그 결과는 아래표와 같다.

 

분산분석을 한다.
             S_T = 0.1² + (- 0.1) ² + … + 15.2² = 722.350  (f = 8)
             r = 2 × ( 0² + 5² + 10² + 15 ² ) = 700
             S_β = ( 0 × 0 + 5 × 10.2 + 10 × 20.7 + 15 × 30.2 )² / 700
                  = 711² / 700 = 722.173     (f = 1)
             S_e = S_T - S_β = 722.35 - 722.173 = 0.177     (f = 7)
             V_e = S_e / 7 = 0.1771 / 7 = 0.025

이를 정리하면 다음의 분산분석표를 얻는다.

SN비는
             η = { ( 722.173 - 0.025 ) / 700 } / 0.025 = 40.76  (%)²
이 된다. 그리고 데시벨 값으로 변환하면
             η = 10 log 40.76 = 16.10  (dB)
이다. 감도계수의 추정값은
               = 711 / 700 = 1.015
가 되며 M과 y의 관계식은
             y - 5.1 = 1.015 (M - 5)
가 된다.  

  1.4  1차식                                                                  

 1) 1차식의 추정 

1차식을 다음과 같이 직교다항식의 형태로 바꾸어  패러미터를 추정한다.
             y = m + β ( M - M )                                                                                                                                (※)

   ( M bar 를 M로 표기함 )

두 개의 패러미터 m과 β는 다음 일반식으로 추정된다.
             m = y
             β = { y₁ ( M₁ - M ) + y₂ ( M₂ - M ) + … +y_k ( M_k - M ) }/r                                        (※)
             M = ( M₁ + M₂ +… + M_k )/k
유효제수는
             r = r₀ { ( M₁- M )² + ( M₂ - M )² + … + ( M_k - M )²}                                                 (※)
이다. 함수는
             y = m + β ( M - M )
가 된다.

SN비를 구하기 위한 분산분석을 한다. 전변동, 일반변동 및 신호인자의 1차 효과는 다음 일반식으로 계산된다.
             S_T = y₁₁² + y₁₂² + … + y_kr0²
             S_m = (∑y_ij)² / kr₀
             S_β = { y₁ ( M₁ - M ) + y₂ ( M₂ - M ) + … + y_k ( M_k - M ) }² / r                                  (※)
신호인자의 수준값이 등간격이 아닌 경우에는 일반식에 직접 값을 대입하여 계산한다. 신호인자의 수준값이 등간격 h일 경우에는 실험계획법 서적의 부록표에 있는 "직교다항식의 계수표" 를 이용한다. 예를 들면  k = 4일 때
             S_β = (-3y₁- y₂ + y₃ + 3y₄ )² / 20 r₀
             r = 5 r₀ h²
이다.
오차변동은
             S_e = S_T - S_m - S_β
오차분산은
             V_e = S_e / ( kr₀ - 2 )
이다. 분산분석표로 정리하면, 다음과 같다.

   1.5 동특성 관계식 종합