제4편 사례

       1장 망소특성

   
 

1.1   실험조건과 직교표 할당

1.2   SN비의 계산

1.3   변동(제곱합)의 계산

1.4   분산분석표의 작성

1.5   최적조건


 
이장에서는 정특성인 망소특성의 사례로 설명한다 (망대특성은 SN비, 손실함수를 구하는 식만 다를 뿐 해석의 방법은 망소특성과 똑 같다).
 

  1.1  실험조건과 직교표 할당                                      

 복사에서의 바탕오염을 개선하기 위해, 다음과 같은 제어 인자를 채택하고 실험을 한다.오염의 문제이므로 망소특성이다. (각 인자의 제2수준이 현행 조건이다)    

혼합계 직교표 L18에서 2수준 인자는 제1열에 배치해야 하며, 3수준의 인자는 제2~8열의 어느 열에 배치해도 좋다. 실험인자가 6개이므로  남게되는 두열 (어떤 열을 비워도 무방하며, 여기서는 제7, 8열을 빈열로 하였다)은 자동적으로 오차열로 처리된다.

직교표의 외측에 할당되는 오차 인자는 실험량을 줄이기 위해 plus측조건, (표준조건), minus측조건이라는 2~3수준으로 조합할 수 있다. 여기서는 영향력이 높은 온 습도의 조합으로 3수준으로 한다.

註 : plus, minus란 특성치가 작아지고 커지는 방향을 의미하며, 좋다 나쁘다와는 별개다.

바탕오염은 0점이 만점 (바탕오염 없음)으로써 10 단계 (0∼9) 로 평가한다. 직교표에의 할당과 측정치는 아래와 같다.

 

  ( 다른 사례에서도 마찬가지로, Excel의 모든 sheet 에서 붉은 바탕셀만 입력이 필요한 부분이며, 나머지는 모두 계산식으로 자동계산되는 부분이다.)

 

  1.2  SN비의 계산                                                             

SN비 (망소특성)       
             η = -10 × log { ( ∑yi2 ) / n }
       no.1의 예
          
             η1 = -10 × log { ( 42 + 12 + 42 ) / 3 } = -10.4
             K5의 Excel 식  = -10 *LOG ( SUMSQ ( L5:N5 ) / 3 )
       no. 2 ~ 18 의 계산은 위의 식을 입력한 K5 셀을 K6:K22 셀에 복사하면 된다.

※ 최적조건을 다루는 실험에서 취급하는 특성은 여러 개가 있을 수 있고, 그 특성에  따라
     망소, 망대, 망목특성으로 처리해야 한다.

망대특성의 경우라면 SN비는 다음 식과 같다.
          η = -10 × log [ { ∑ ( 1 / yi2 ) } / n ]
      
no.1의 예                  
          K5의 Excel 식  = -10 * LOG ( ( 1/ L5^2 + 1/ M5^2 + 1/ N5^2 ) / 3 ) = 4.3

 

  1.3  변동(S)의 계산                                                   

 

각 인자별 변동 계산은 다음과 같다 (아래에서 인자 B 의 계산 例를 들고 있다) 

◈ 수준1의 합   = (-10.4) + (-5.2) + (-13.4) + (-13.4) + (-12.6) + (-14.4) = -69.3
      
수준3의 합   = (-7.3) + (-8.5) + (-6.4) + (-14.3) + (-10.4) + (-11.9) = -58.7

      Excel 식
     수준1의 합 (
D25) = SUMIF(D$5:D$22, 1, $K$5:$K$22) = -69.3 
     
수준2의 합 (D26) = SUMIF(D$5:D$22, 2, $K$5:$K$22) = -50.7      
     
수준3의 합 (D27) = SUMIF(D$5:D$22, 3, $K$5:$K$22) = -58.7          

  ※ 2수준 배치열에서 28~29행의 n = 9, 32행의 자유도(f) = 1에 주의할 것 (L18직교표에서 3수준의 열은 어느 한열을 계산한 후 다른 열에 복사하면 되나, 2수준열은 복사해서 안되고 틀리기 쉽다) 


     

 ◈ 변동 (S)      SB = { ( -69.3 )2 / 6 + ( -50.7 )2 / 6 + ( -58.7 )2 / 6 } -CT
                            = { ( -69.3 )2 + ( -50.7 )2 + (-58.7)2 } / 6 -CT
                            = 29.2
       단, 수정항   CT = { ( -10.4 + (-5.2) + (-13.4) +   + (-11.9) }2 / 18 = 1774
         (
Excel 식    K23 = SUM (K5:K22)^2 / 18 = 1774 )      

 

   1.4  분산분석표의 작성                                           

 

  

 

◈ 분산 (V)        VB = 변동 / 자유도 = SB /  fB  = 29.2 / 2 = 14.6
 

◈ 오차의 pooling
    33행에 나타나는 분산 (V)이 작다는 것은 SN비에 영향이 없는 인자로 볼 수 있다는 뜻이며, 오차로 보아 무방하다. 이런 인자가 오차에 합쳐지면(
pooling), 오차자체의 신뢰도가 높아지고, 이로써 인자의 검출력이 높아진다.  이 실험에서 pooling의 대상은 {오차열(인자가 배치되지 않은 열) + 33행의 V값이 작은 인자 + 1, 2열의 교호작용(L18일 때만)} 들이며, V(e) = (pooling하는 인자의 변동 합 / pooling하는 인자의 자유도 합)
    
모든 열에 인자가 배치되어 오차열이 없을 경우에는 V값이 작은 몇 개의 인자를 pooling하여 오차분산으로 한다. pooling한 분산과 자유도는 첨자 (e)를 붙여 구분 표시한다.

  분산비(Fo)나 순변동(S') 기여율(ρ)은 pooling한 오차 즉 V(e)를 기준으로 계산한다.  

K31~K35의 4 셀은 pooling된 오차분산 V(e)의 계산과 관련되는 부분이다.

  K31: 1열과 2열의 교호작용 변동
                            = 총변동(ST) - 8개 열의 변동 합계
                            
= DEVSQ(K5:K22) -SUM(C31:J31)
                            = 264.4 -251.4 = 13.0

  K32 : pooling 오차의 자유도
                            = ( 배치된 오차 +
pooling할 인자 + 1,2열의 교호작용 )
                            = 4 + 2 + 2 = 8
         
   K33 :
pooling 오차분산 V(e) = ( K35 + K31 ) / K32 = ( 5.5 + 13.0 ) / 8 = 2.3   
   C34~J34 : C33~J33의 분산을 기준으로
pooling하고자 하는 인자열에 e 입력  

  K35 : pooling할 오차 변동( 배치한 오차 + pooling할 인자 )   
 

◈ 분산비 (F0)      VB / V(e)   = 14.6 / 2.3 = 6.3     
 

◈ 유의성 검정        
    
  F분포표에서 수치를 확인하여 위에서 계산한 F0 와 비교한다.
      분자의 자유도가 2인 경우 (B, C, D, E, F, e, e의 7열에 해당)
               F (f
B, f(e), 0.05) = F(2, 8, 0.05) = 4.46
               F (f
B, f(e), 0.01) = F(2, 8, 0.01) = 8.65   
      단, 2수준인 인자A 열에서는 자유도 ( f
A)가 1인 것에 주의

             F (fA, f(e), 0.05) = F(1, 8, 0.05) = 5.32
               F (f
A, f(e), 0.01) = F(1, 8, 0.01) = 11.26   
    
  36행의
F0 가  F0 > F (fB, f(e), 0.05) = 4.46 이면 위험율 5%로 유의 (*표시)
                         107410 
F0 > F (fB, f(e), 0.01) = 8.65 이면 위험율 1%로 유의 (**표시)

 ◈ 기여율 ρ(%)
               ρB = ( SB - fB × V(e) ) / ST  × 100  = ( 29.2 - 2 × 2.3 ) / ST × 100  = 9.3 (%)
      단,  
ST = { (-10.4)2 + (-5.2)2 + … + (-11.9)2 } -CT
                 
= DEVSQ (K5:K22) = 264.4   

◈ 수준1 평균      D40 = D25 / 6 = -69.3 / 6 = -11.6                                                        

해설

(1) L18 직교표의 특이점
         ST (총변동) = (-10.4)2 + (-5.2)2 + … + (-11.9) 2 -CT(1774) = 264.4
 한편 변동계산표의 각 인자별 변동(S)의 합계 (C31:J31의 합계)는 251.4이다. 이 두값의 차이 264.4 -251.4 = 13.0 은 L18직교표의 특이점으로 제1열과 제2열의 교호작용(A × B)이다. 교호작용은 오차의 일부로 생각하는 경우도 있으므로 매우 큰 값이 아닐 경우에는 오차로 취급한다.

 교호작용의 자유도는 각 인자의 자유도의 곱이다. L18 직교표의 총자유도는 17인데, 변동계산표에서 각 인자의 자유도 합계(C32:J32의 합계)는 15이다. 이 차이 (2 = 17 -15) 가 교호작용으로 숨겨진 자유도이며, 오차로 pooling할 때는 합쳐져야 하는 것이다. 위 분산분석표의 k열이 이들과 관련한 수치들이다

 (2) 순변동과 기여율

 토너(C)의 변동은 분산분석표 E31에서 31.6 이다. 즉 SC는 C(토너)의 수준변화에 의해 발생한 크기인데, 같은 조건에서 여러 번 측정하면 같은 값이 아니라, 어떤 값을 중심으로 분포를 이룰 것이다. 이같이 중심적인 값을 기대값(Expected value)이라 한다. 지금 구한 C의 변동 SC의 기대값은 다음과 같이 된다.

             E[SC] = SC’ + C의 자유도 × V(e)
이다. 즉 SC에는 (해당인자 자유도 × 오차분산)가 포함되어 있다는 것이다. 그러므로 SC’를 인자 C의 순변동(참된 효과)이라 하고 그 값을 추정하면

             SC’ = SC - ( C의 자유도 × V(e) )
                   = 31.6 - ( 2 × 2.3 ) = 27.0
한편 각 인자의 순변동을 구할 때 빠진 오차분산은 오차변동
S(e)에 플러스하여 오차의 순변동 S(e)’ 이 된다.

             S(e)’ = S(e) + (pooling오차에 들어가지 않은 자유도 합계 × V(e)
                      = 18.5 + 9 × 2.3 = 39.2
               ST = SA’ + SB’ + SC’ + SD’ + SF’ + S(e)
                      = S
A + SB + SC + SD + SF + S(e)   
      
                = 264.4 

전변동(ST)에서 차지하는 순변동의 비율이 기여율 ρ 이다.
  
             ρC = ( SC’ / ST ) × 100 = 27.0 / 264.4 × 100
                    = 10.2   (%)
 

이 기여율의 의미는 18개 SN비가 -14.4 dB에서 -2.2 dB의 범위로 산포(K5 ~ K22) 하는데서 10.2%가 토너(C)에 의한 영향이라는 것이다. 오차분산보다 작은 요인은 기여율을 계산하지 않는다.  

요인 효과도

  

( 계산표의 40~42행에서 수준별 효과를 바로 알 수 있으므로 요인효과도를 반드시 그릴 필요는 없다.)

 최적 조건은 SN비의 최대의 조합이다. 이 예제에서 최적 조건은 A1 B2 C2 D1 E2 F2 로 나타난다. 모든 인자의  최적수준의 조합은 과대추정 값이 될 수 있기 때문에, 최적 조건의 추정에는 전체 요인의 약 반수로 계산한다.(현행 조건은 모두 제2수준이다. 최적조건에서의 이득은 core dia에서만 나타난다)

 여기에서는, 분산 분석표로부터, 효과가 큰5개의 요인 A, B, C, D, F를 선택하고 계산한다.

 추정의 몇가지 방법
약 절반의 큰 요인만 계산
분산분석에서 분산비가 2이상인 것
분산분석의 F검정으로 유의한 것
할인계수법

 

  1.5   최적조건                                                        

 


최적조건은 전체평균에서 각 인자의 효과를 합하면 되므로
             μ = T + ( A1 -T ) + ( B2 -T ) + ( C2 -T ) + ( D1 -T ) + ( F2 -T )
                = A
1 + B2 + C2 + D1 + F2 -4 × T
   
             = (-7.2)+(-8.4)+(-8.1) +(-9.1) +(-8.2)-4(-9.9) = -1.4

◈ 최적조건에서의 신뢰한계(중요하지는 않다)
             ± √{ F(1, φe, 0.05) × Ve × 1 / ne }
     여기서, F(1, φ
e, 0.05) = F(1, 8, 0.05) = 5.32
                V
e = 2.3
                n
e = 전체실험수 / η의 추정에 고려한 자유도의 합(A, B, C, D, F, T)
                     = 18 / ( 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 ) = 18 / 10 = 1.8

ne 유효반복수라고 하며 μ가 몇 개의 평균에 해당되는지를 나타낸다.
           ∴  ± √ { 5.32 × 2.30 × 1 / 1.8 } = 2.6

현행 조건의 공정 평균 추정.

             μ = T + ( A2 -T ) + ( B2 -T ) + ( C2 -T ) + ( D2 -T ) + ( F2 -T )
                = A
2 + B2 + C2 + D2 + F2 -4 × T
                =(-12.7)+(-8.4)+(-8.1) +(-9.2)+(-8.2)-4(-9.9) = -6.9  

따라서 최적 조건의 이득(gain)은
              
최적치 -현행치 = (-1.4)-(-6.9) = 5.5 (dB)
최적 조건이 결정되면, 현행 조건과 최적 조건하에서, 위의 이득이 재현하는가를 확인 실험을 한다.
  추정치의 계산에서는
약 반수의 요인을 사용하나,
공정에 적용하는 조건은, 비용에 관계가 없는 한 제어인자의 좋은 수준을 모두 채택한다.


◈ 손실금액의 계산
  바탕오염의 점수가 5를 넘으면(기능한계) 손실액이 3000원이다.
  
  
망소특성의 손실함수는
             L = ( A / Δ2 ) × σ2 = ( A / Δ2 ) × 10 (-η / 10)
             
(
  η = -10 log σ2 에서  σ2 = 10 (-η / 10) )
  따라서
             L(현행) = 3000 / 5 × 10 (6.9 / 10) = 592 (원)
             L(최적) = 3000 / 5 × 10 (1.4 / 10) = 164 (원)

그러므로 개당 손실의 감소는 592 - 164 = 428 (원),
             
( 592 - 164 ) / 592 × 100 = 72 %  즉 손실의 72%를 줄이게 된다.

 

等價 평균(산포가 없다고 할 때의 특성치)에 의한 효과 추정

망소특성의 SN비 -10 log {(y1 + y2 + … + yn )/n}=η (dB)
에서 산포가 없다는 것은  y= y= … = y= y 이므로 -10 log y=η가 된다.
따라서
등가 평균 y는

            y= 10 (-η / 10)  

            y(최적)= 10 (-η / 10) = 10 0.136 = 1.17

            y(현행)= 10 0.693 = 2.22  

즉 바탕오염이 2.22점으로부터 1.17점으로 향상한 것이 된다.(등가평균의 절대치는, 채택한 실험의 조건(여러 Noise의 조합)에 따라 달라지므로, 재현성은 이득으로 첵크한다)