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제4편 사례 4장 등급분류 data |
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1) 할당과 데이터 2) 변동의 계산 3) 분산분석 4) 추정 1) 할당과 데이터 2) 변동의 계산 3) 분산분석 4) 수명추정 |
크롬 도금 제품의 부식성 개선을 위해 5개 인자를 선정하여 직교표 에 할당하고, 각 조건에서 3개씩 도금한 결과를 상, 중, 하로 분류했다.
단, A B에는
조합법을, E에는 더미법을 사용했다.
註 : 직교표 L9 를 사용하고 있으나 품질공학의 실험에서는 가능하면 혼합형 직교표 즉 L12 , L18 등의 사용을 권장한다. 교호작용의 문제 때문이며, 여기서는 등급분류의 데이터해석과 조합법, 더미법의 해석에 대해 이해하도록 함이 좋겠다.
상, 중,
하와 같이 조의 순서에 따라 나빠지는 분류의 경우에는
상을 0점,
중을 1점,
하를
2점
으로
점수화하여 망소특성으로 하고 해석하는 방법을 취해도 좋지만,
여기서는 누적법을 적용하여 산포와 평균을 동시에 분포로서 파악한다.
우선 누적도수에서 다음의 보조표를
얻는다
. 
먼저 중요도
W1
W2
를 구한다. Ⅰ조의
합계는 7, Ⅱ조의 합계는 16, 전체
측정수는 27이므로
W1
= 272
/ { 7 × ( 27 - 7 ) } = 5.21
W2
= 272
/ { 16 × ( 27 - 16 ) } = 4.14
전변동 ST
는 ST =
(총 측정수 × 해석하는 조수)로 하여
ST
= 27 × 2 = 54
(f = 52)
전변동의 자유도
f = 26 × 2 = 52 로 구해진 것이다.
CT = ( 72
× W1
+ 162
× W2
) / 27 = 48.71 (f = 1 × 2 = 2)
조합
인자
(AB)의 변동 S(AB)
는
S(AB)
= { ( 12
+ 22
+ 42
) × W1
+ ( 32
+ 52
+ 82
) × W2
} / 9 - CT
= 8.53
(f = 2
× 2 = 4)
다음에 SA
SB을
구한다. A는 (AB)1
과 (AB)2
에서, B는 (AB)1
과 (AB)3
에서 구해진다. 모두 2수준이므로 2수준 간의 변동을 구하는 방법을 적용하여
SA
= ( A1
B1
- A2
B1
)2
/ ( A1
B1,
A2
B1
총 측정수)
을 Ⅰ조,
Ⅱ조로 종합한다, 즉
SA
= { (1 - 2)2
× W1
+ (3 - 5)2
× W2
} / 18 = 1.21
(f = 1 × 2 =
2)
마찬가지로
SB
= { (1 - 4)2
× W1
+ (3 - 8)2
× W2
} / 18 = 8.36 (f = 1 × 2 = 2)
다음에
SC
SD을
구한다.
SC
= { (02
+ 32
+ 42)
× W1
+ (22
+ 52
+ 92)
× W2
} / 9 - CT = 16.36
(f
= 2 × 2 = 4)
SD
= { (52
+ 12
+ 12)
× W1
+ (62
+ 32
+ 72)
× W2
} / 9 - CT = 10.16
(f
= 2 × 2 = 4)
E에는 더미법이 사용되므로
SE
= ( E1
+ E1’
)2
/ ( E1,
E1’의
반복합계 ) + E22
/ E2
의 반복수 - CT
를 중요도로 종합하면
SE
= [ { (1 + 2)2
/ 18 + 42
/ 9 } × W1
+ { (5 + 5)2
/ 18 + 62
/ 9 }] × W2
- CT
= 2.72
(f = 1 × 2 =
2)
E1
과 E1’
의 차이는 실험간 오차 Se1
이 되며
Se1
= { (1 - 2)2
× W1
+ (5 - 5)2
× W2
} / 18 = 0.29
(f = 2)
이상을
합계하면 다음의 실험간 변동
S T1
이 된다.
ST1
= 1 / 3 × { ( 02
+ 02
+ 12
+ … + 12
)× W1
+ (
02
+ 02
+ 32
+ … + 32
) × W2
} - CT
= 38.06
(f = 8 × 2 = 16)
이제까지의 해석에서는 대부분 실험간 변동이 전변동이었다. 그러나 처음에 이미 구했듯이 전변동 ST 는 54이고 자유도도 52이다. 이 차이는 9종류 각각에서 3회씩 되풀이가 있는데 따른 것이다. 계량값이라도 원래는 되풀이해서 데이터를 취한 것이지만 내측 조건별 되풀이 데이터에서 SN비라는 하나의 특성값으로 만든 것이므로 해석 대상에서는 되풀이가 1이 된 것이다.
Ⅰ조의
no.1에서는 3회 가운데 Ⅰ조에는
1회도 들어있지 않다. 여기서의 변동은
02
+ 02
+ 02
- ( 0 + 0 + 0 )2
/ 3 = 0
이다 .
즉 3회 되풀이해도 산포는 없다는 말이다. no.2 ~ no.9에 대해서도 마찬가지로 구하고
이를 합계하면
Se2
(Ⅰ)
= (0 - 02
/ 3) + (0 - 02
/ 3) + (1 - 12
/ 3) + … + (1 - 12
/ 3)
= 7
- {(02
+ 02
+ … + 12
) / 3}
Ⅱ조에
대해서도 마찬가지로 하여
Se2
(Ⅱ)
= 16 - (02
+ 02
+ … + 32
) / 3
을
얻을 수 있다.
이를 중요도로 종합하면
Se2
= ST
- ST1
= 15.94
(f
= 18 × 2 = 36)
가
얻어진다. 이것이
되풀이 오차변동이다. 자유도는 각 실험에서 3회의 되풀이 이므로
1을 빼어 2, 9회의 실험에서는 18 이다.
Ⅰ,
Ⅱ조의 양쪽에서 18씩이므로
18 × 2 = 36이 된다.
이상을
정리한 분산분석표는 다음과 같다
. 
e1
과 e2
의 2종의 오차가 있을 때 판단방법은 우선 e1
이 e2
보다 작은지 여부를 조사한다. 이 경우 e1
이 e2
보다 작으므로 e2
을 기초로 요인의 pool을 생각한다. A1,
e1
을 e2
에 pool한다. 이것이 (e)이다.
A의 효과는 무시할 수 있다면
(AB)의 조합인자는 B만으로 실험된 것으로 간주할 수 있다. 즉, B는 L9
의 1열에 더미법으로 할당한 결과와 같아진다. 그러므로 이를 고쳐서 B의 변동을
E와 마찬가지로
SB
= ( B2
+ B1’
)2
/ 18 + B22
/ 9 - CT
로서
구하는데 pool한
SA
는 오차가 된 것으로 다음과 같이 구하는 편이 간단하다.
SB
= S(AB)
- SA
= 7.32
(f
= 1 × 2 = 2)
다시 분산분석표를
정리하여 다음과 같다
. 
그리고 기여율은
ρB
= ( SB
- fB
Ve
) / ST
× 100 = 11.9 (%)
ρC
= ( SC
- fC
Ve
) / ST
× 100 = 27.1 (%)
ρD
= ( SD
- fD
Ve
) / ST
× 100 = 15.6 (%)
ρE
= ( SE
- fE
Ve
) / ST
× 100 = 3.4 (%)
ρe
= { Se
+ ( fB
+ fC
+ fD
+ fE
) Ve
} / ST
× 100 = 42.0 (%)
로서
구했다
.
효과가
큰
B, C, D, E에 대해 다음표와 같이 등급별 백분율을 추정한다.
최적조건은
Ⅰ조를
중시하여 B2
C3
D1
E2
로한다.
D와 같이 D1
과 D2
의 어느쪽이 좋은지 판단하기 어려운 경우도 있다. D1
은 D3
보다 아래의 비율이 많기 때문이다. 그러나 여기서는 C3
가 아래를 줄이는 강력한 인자이므로 D1
을 선택했다.
추정은 종전과 같이
μ
= B2
+ C3
+ D1
+ E2
- 3T
를
비율에 대해 적용하면Ⅰ조의
추정값에서만 100%를 넘는 결과가 된다.
즉
μ
= 44.4 + 44.4 + 55.6 + 44.4 - 3 × 25.9 = 111.1 (%)
이것은 확실히 이상한
결과이다.
0~100%라는
한계가 있는
특성인
비율은 가법성이 좋지 않아 그대로 더하는 것이 적합치 못한 경우가 많다.
불량률이라는
특성값을 생각해보면
어떤 공정의 불량률이 2%라고 할 때 이를 1% 줄이는 일은 상당히 어렵다. 그러나
30%를 29%로 줄이는 일은 어렵지 않다. 같은 1%라도 어려움이 완전히 다르다. 아래의
왼쪽 그림에서 같은 %값을 줄이는 일이 A와 B로 차이가 있음을 이해하라. 이를
오른쪽 그림과 같이 0~100%의 어디에 대해서도 효과가 균등하도록 변환하는 것이
오메가 변환이다.
오메가
변환 p’
= - 10 log (1 / p - 1)
이같은 변환에 의해 2%를 1%로 하는 효과는 오메가 자(尺)에서 -16.901을 -19.995로 하는 효과이며, 이것은 30%를 29%로 하는 효과 (-3.679를 -3.888로 하는 효과)의 약 15배에 상당하게 되므로, 같은 척도로 비교할 수 있게 된다.
다만, 비율의 데이터일지라도 실험값 전체가 비교적 고른 값을 지닌 경우에서 이같은 변환을 하지 않아도 된다.
이같은
오메가 자
(尺)로서 가법성을 적용하면 μ의 데시벨 값은
μ
(dB) = B2
+ C3
+ D1
+ E2
- 3 × T (dB)
로서
추정할 수 있다
. 이를
Ⅰ,
Ⅱ 별로
적용하게 된다. 밀도에 대해서가 아니라 반드시 누적 백분율을 적용하는 것이 좋다.
B2,
C3,
D1,
E2,
T 각 평균의 퍼센트값과 데시벨 값을 표에 들어둔다.
표에서
μ
(Ⅰ)
의 dB = - 0.976 - 0.976 + 0.977 - 0.976 - 3 × (-4.564) = 11.
741
∴
μ (Ⅰ)
= 93.7 (%)
μ
(Ⅱ)
의 dB = 9.036 +
∞
+ 3.017 + 3.017 - 3 × 1.635 =
∞
∴
μ (Ⅱ)
= 100 (%)
따라서
Ⅰ,
Ⅱ,
Ⅲ조의 출현율은 93.7%,
100%, 100%로 상, 중, 하의 출현율은 93.7%, 6.3%, 0%가 된다.
클러치 스프링의 내구성을 높이기 위하여 다음의 각 인자를 채택하기로 하였다 .
B와 C는 조합하며, 모든
주효과는 물론, 교호작용 B×C, D×F를 구할 수 있도록 직교표 L27
에 배치하였다. 27종류의 각 조건에서 3개씩의 스프링을 만들어 110만회의 내구시험을
한 데이터이다. 단
ω1
= 10만회, ω2
= 20만회, …, ω10
= 100만회, ω11
= 110만회로 하여 각 수준에서 작동한다면 1, 못쓰게 되었다면 0으로 했다. 따라서
110만회째에도 작동되었다면 ω11
이 1이다.
Sm
= 4762
/ (27 × 3 × 11) = 254.29
ST
= 476
(f = 891)
ST1
= 1 / 33 × (32
+ 202
+ 152
+ … + 332
) - S
m = 120.31
(f = 26)
ST2
= 1 / 11 × (12
+ 12
+ 12
+ 42
+ … + 112
) - S
m = 134.79
(f = 80)
단 ST1
은 27회의 실험간 변동, ST2
는 81개의
스프링간의 변동이다.
SA
= (1202
+ 1692
+ 1872
) / 297 - 254.29 = 8.10
S(BC)
= (1552
+ 1902
+ 1312
) / 297 - 254.29 = 5.92
SB
= (1552
- 1312
) / 594 = 0.97
SC
= (1552
- 1902
) / 594 = 2.06
SD
= (952
+ 1572
+ 2242
) / 297 - 254.29 = 28.03
SE
= (1802
+ 1752
+ 1212
) / 297 - 254.29 = 7.21
SD
× E = (382
+ 382
+ … + 542
) / 99 - 254.29 - SD
- SE
= 5.50
(f = 4)
SF
= (702
+ 2362
+ 172
) - 254.29 = 47.04
(f = 2)
SD
× F = (102
+ 382
+ … + 802
) / 99 - 254.29 - SD
- SF
= 12.60
(f = 4)
SG
= (1602
+ 1492
+ 1672
) / 297 - 254.29 = 0.55
Se1
= ST1
- (SA
+ S(BC)
+ … + SG)
= 5.36
(f = 6)
Se2
= ST2
- ST1
= 134.79 - 120.31 = 14.48
(f = 54)
Sω
= (812
+ 682
+ … + 322
) / 27 - Sm
- SA
- Sω
= 2.26
(f = 20)
SA
× ω = (272
+ 202
+ … + 142
) / 27 - Sm
- SA
- Sω
= 2.26
(f = 20)
SG
× ω = (272
+ 222
+ … + 122
) / 27 - Sm
- SG
- Sω = 1.10
(f = 20)
Se3
= ST
- (Sm
+ ST2
+ Sω
+ SA × ω
+ … + SG × ω
) = 19.98
(f = 600)
.gif)
위의
분산분석표를 다음과 같이 정리한다. 여기서 e2 는 e3 로
유의, e1 은 e2 로 각각 유의하다. ○표한 인자는 e1
에 pool한다. ω관계 요인은 많은 요인이 유의로 되지만 작은 요인은 오차로 넣고
중요요인에 대해서 생각하며, ◎표시는 e3 에 pool한다. 이렇게 해서
정리한 것이 다음과 같다.
.gif)
분산분석표에서
m,
A, C, E의 주효과, D, F, ω의 3 원표를 추정한다.
T
= 476 / 891 = 0.534 ± 0.071 { ±
√(4.67 × 0.95 / 891) = ± 0.071}
A1
= 120 / 297 = 0.404 ± 0.122
A2
= 169 / 297 = 0.569 ± 0.122
A3
= 187 / 197 = 0.630 ± 0.122
C1
= 286 / 594 = 0.481 ± 0.086
C2
= 190 / 297 = 0.640 ± 0.122
E1
= 180 / 297 = 0.606 ± 0.122
E2
= 175 / 297 = 0.589 ± 0.122
E3
= 121 / 297 = 0.407 ± 0.122
D,
F의 2원표의 신뢰한계는 Ve1 을 써서
± √ (4.67 × 0.95 / 99) = ± 0.212
또 ω와의 교호작용에
대해서는 윗표를 9로 나눈 율로 고쳐서 예를 들면 D1F1ω2
에 대해서
1 / 9 ± √ (3.85 × 0.0423 / 9) = 0.111 ± 0.135
최적조건은 A3C2D2E1F2
혹은 A3C2D3E1F2 이다.
이 경우 D3F2, D2F2 는 잔존율 100%이므로,
공정평균을 구할 필요는 없고, 확인실험으로 충분한 시험(test)을 하는 것이 좋다.
여기서
계산법을 나타내기 위해서 現狀조건인 A2C2D1E3F2
의 공정평균을 추정한다.
μ = D1 F2 + A2 + C2
+ E3 - 3 T
을 dB값으로 계산한다.
A2 = 0.569 1.21
(dB 값)
C2 = 0.640 2.50 (dB 값)
E3
= 0.407 - 1.63 (dB 값)
T
= 0.534 0.59 (dB 값)
D1F2ω1,
D1F2ω2, … , D1F2ω11
의 dB 값은
∞, ∞, 9.04, -0.98, -5.44, -9.04, …, -9.04
이므로 이들에
A2 + C2 + E3 - 3 T = 1.21 + 2.50 - 1.63 - 3
× 0.59 = 0.31
을 더하여
∞, ∞, 9.35, -0.67, -5.13, -8.73, …, -8.73
신뢰상하한은 위의 dB값에
다음의 값을 가감해서 만든 것이다 .
± ε = ± [ 4.343 / {T (1-T) } × √ ( F × V1
/ n1 + F × V3 / n3 ) ]
= ± [ 4.343 /
(0.534 × 0.466) × √ (4.67 × 0.95 × 13.5/891
+
3.85 × 0.0423 × 90/891) ] = ± 5.05
따라서 잔존율은 표와 같다.
단
ω1, ω2 에서 100.0인 것은
1 - 1/2 × 22.5/891의 dB값 - 5.05 = 13.90 (dB)
로
해서 96.0%를 구했다.
n1,
n2 는 다음과 같이 구한 유효반복수이다.
1/n1 = {1(m) + 2(A) + 0.5(C2 의 더미) + 2(E) +
8(D1 F2 ) } / 891 = 13.5 / 891
1/n2 = {10(ω) + 20(D×ω) + 20(F×ω) + 40(D×F×ω)
} / 891 = 90 / 891
유효반복수는 <제4편 1장 망소특성
사례>를 참조한다.